常见函数导数

目录

1. 引言：导数是什么？
2. 常数函数的导数
3. 幂函数的导数
4. 指数函数的导数
5. 对数函数的导数
6. 三角函数的导数
7. 反三角函数的导数
8. 双曲函数的导数
9. 总结与应用

引言：导数是什么？

生活中的类比

想象你正在开车：

• 位置 = 函数值 $f(x)$：你现在在哪里
• 速度 = 一阶导数 $f'(x)$：你移动得有多快
• 加速度 = 二阶导数 $f''(x)$：你的速度变化得有多快

导数的本质：描述函数在某一点处的瞬时变化率。

常数函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：静止的汽车

• 一辆车停在停车场，位置始终是 $x = 5$ 米
• 速度 = 0（没有移动）
• 加速度 = 0（速度没有变化）

类比2：固定的工资

• 你的月薪固定为 5000 元
• 无论工作多少个月，工资变化率都是 0
• 导数 = 0 表示"没有变化"

数学理解

$$
f(x) = C \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0
$$

为什么是 0？

• 常数函数是一条水平线
• 水平线的斜率始终为 0
• 因此导数 = 0

图像特征

观察要点：

• 原函数是一条水平直线
• 一阶导数和二阶导数都是 0（与 x 轴重合）
• 这反映了"没有变化"的特性

幂函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：$f(x) = x^2$（平方函数）

想象一个正方形的面积：

• 边长 = $x$，面积 = $x^2$
• 当边长增加 1 单位时，面积增加多少？
  • 原来：$x^2$
  • 现在：$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
  • 增加量：$2x + 1$（当 $\Delta x \to 0$ 时，约为 $2x$）
• 导数 $2x$ 表示：边长每增加 1 单位，面积大约增加 $2x$ 单位

类比2：$f(x) = x^3$（立方函数）

想象一个立方体的体积：

• 边长 = $x$，体积 = $x^3$
• 导数 $3x^2$ 表示：边长每增加 1 单位，体积大约增加 $3x^2$ 单位

类比3：$f(x) = \sqrt{x}$（平方根函数）

想象时间与距离的关系：

• 如果距离 = $x$，那么"时间" = $\sqrt{x}$（简化模型）
• 导数 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 表示：距离每增加 1 单位，时间增加 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 单位
• 注意：当 $x$ 很大时，$\sqrt{x}$ 很大，$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 很小（增长变慢）

数学理解

一般规律：
$$
\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
$$

推导思路：

1. 使用导数的定义：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
2. 对于 $f(x) = x^n$：
   $$
   f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}
   $$
3. 使用二项式定理展开 $(x+h)^n$
4. 化简后得到 $nx^{n-1}$

图像特征

$f(x) = x^2$

观察要点：

• 原函数：开口向上的抛物线
• 一阶导数：$2x$（一条直线，斜率为 2）
• 二阶导数：常数 2（水平线）
• 物理意义：位置 → 速度 → 加速度（匀加速运动）

$f(x) = x^3$

观察要点：

• 原函数：S 形曲线
• 一阶导数：$3x^2$（开口向上的抛物线）
• 二阶导数：$6x$（一条直线）
• 在 $x=0$ 处，一阶导数为 0（拐点）

$f(x) = \sqrt{x}$

观察要点：

• 原函数：增长越来越慢的曲线
• 一阶导数：$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（随着 $x$ 增大而减小）
• 二阶导数：负值（说明增长在减速）

指数函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：$f(x) = e^x$（自然指数函数）

想象复利增长：

• 你的投资每年增长 $e$ 倍（约 2.718 倍）
• 神奇之处：增长率 = 当前值本身！
  • 如果你有 100 元，增长率是 100 元/年
  • 如果你有 200 元，增长率是 200 元/年
• 导数等于原函数：$f'(x) = e^x = f(x)$
• 这是唯一一个导数等于自身的函数！

类比2：$f(x) = 2^x$（以 2 为底的指数函数）

想象细菌繁殖：

• 每小时细菌数量翻倍：$2^x$（$x$ 是小时数）
• 导数 $2^x \ln 2$ 表示：每小时的增长速度
• $\ln 2 \approx 0.693$，所以增长速度约为当前数量的 69.3%

类比3：指数增长 vs 线性增长

• 线性增长：$f(x) = 2x$（每次增加固定量）
• 指数增长：$f(x) = 2^x$（每次增加固定比例）
• 指数增长更快，这就是为什么"复利是世界第八大奇迹"

数学理解

为什么 $e^x$ 的导数等于自身？

1. 定义：$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$
2. 性质：$e$ 是唯一使得 $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x$ 的底数
3. 几何意义：$e^x$ 在任意点的斜率等于该点的函数值

一般指数函数：
$$
\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a
$$

理解：

• 增长速度与当前值成正比
• 比例常数是 $\ln a$
• 当 $a = e$ 时，$\ln e = 1$，所以导数 = 原函数

图像特征

$f(x) = e^x$

观察要点：

• 原函数：快速增长曲线
• 一阶导数：与原函数完全相同（重合）
• 二阶导数：也与原函数相同
• 唯一性：这是唯一导数等于自身的函数

$f(x) = 2^x$

观察要点：

• 原函数：快速增长曲线
• 一阶导数：形状相似，但略低（乘以 $\ln 2 < 1$）
• 二阶导数：形状相似，更低（乘以 $(\ln 2)^2$）

对数函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：$f(x) = \ln x$（自然对数）

想象学习曲线：

• 学习时间 = $x$，掌握程度 = $\ln x$
• 特点：初期进步快，后期进步慢
• 导数 $\frac{1}{x}$ 表示：学习时间每增加 1 单位，掌握程度增加 $\frac{1}{x}$ 单位
• 关键观察：$x$ 越大，$\frac{1}{x}$ 越小（增长变慢）

类比2：信息量

在信息论中：

• 信息量 = $\log_2(\text{可能性数量})$
• 导数表示：可能性每增加 1 倍，信息量增加多少
• 对数函数的增长递减特性很重要

类比3：对数 vs 指数（互为反函数）

• 指数函数：$y = e^x$（快速增长）
• 对数函数：$y = \ln x$（缓慢增长）
• 它们互为反函数：$\ln(e^x) = x$，$e^{\ln x} = x$
• 导数的关系：如果 $y = \ln x$，则 $x = e^y$，所以 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

数学理解

为什么 $\ln x$ 的导数是 $\frac{1}{x}$？

1. 定义：$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} dt$
2. 微积分基本定理：如果 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，则 $F'(x) = f(x)$
3. 因此：$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

一般对数函数：
$$
\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}
$$

推导：

• $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$
• 使用链式法则：$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a}$

图像特征

$f(x) = \ln x$

观察要点：

• 原函数：缓慢增长的曲线，在 $x=1$ 处为 0
• 一阶导数：$\frac{1}{x}$（双曲线，随着 $x$ 增大而减小）
• 二阶导数：$-\frac{1}{x^2}$（始终为负，说明增长在减速）
• 关键特性：当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，$\frac{1}{x} \to +\infty$

$f(x) = \log_2 x$

观察要点：

• 形状与 $\ln x$ 相似
• 一阶导数略小（除以 $\ln 2 > 1$）
• 二阶导数也略小

三角函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：$f(x) = \sin x$（正弦函数）

想象钟摆运动：

• 位置 = $\sin x$（$x$ 是时间）
• 速度 = $\cos x$（导数）
• 加速度 = $-\sin x$（二阶导数）

关键观察：

• 当位置最大时（$\sin x = 1$），速度为 0（$\cos x = 0$）
• 当位置为 0 时（$\sin x = 0$），速度最大（$\cos x = \pm 1$）
• 这符合简谐运动的物理规律！

类比2：$f(x) = \cos x$（余弦函数）

想象旋转的轮子：

• 水平位置 = $\cos x$（$x$ 是角度）
• 变化率 = $-\sin x$（导数）
• 当轮子在顶部时（$\cos x = 1$），水平速度 = 0
• 当轮子在侧面时（$\cos x = 0$），水平速度最大

类比3：$f(x) = \tan x$（正切函数）

想象斜坡的角度：

• 角度 = $\tan x$
• 导数 $\sec^2 x$ 表示：角度变化的速度
• 注意：$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x \geq 1$（始终大于等于 1）
• 这意味着正切函数总是在增长（除了间断点）

数学理解

为什么 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$？

使用导数的定义和三角恒等式：
$$
\sin'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}
$$

使用和角公式：$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$

$$
= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}
$$

利用极限：$\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$，$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$

得到：$\sin'(x) = \cos x$

记忆技巧：

• $\sin \to \cos$（正弦变余弦）
• $\cos \to -\sin$（余弦变负正弦）
• 记住"正弦导数是余弦，余弦导数是负正弦"

图像特征

$f(x) = \sin x$

观察要点：

• 原函数：周期性波动（周期 $2\pi$）
• 一阶导数：$\cos x$（相位超前 $\frac{\pi}{2}$）
• 二阶导数：$-\sin x$（相位超前 $\pi$，即反相）
• 周期性：所有导数都是周期函数，周期为 $2\pi$

$f(x) = \cos x$

观察要点：

• 原函数：周期性波动（相位比 $\sin x$ 超前 $\frac{\pi}{2}$）
• 一阶导数：$-\sin x$（相位关系）
• 二阶导数：$-\cos x$（反相）

$f(x) = \tan x$

观察要点：

• 原函数：在每个周期内从 $-\infty$ 增长到 $+\infty$
• 一阶导数：$\sec^2 x$（始终为正，在间断点处趋于无穷）
• 二阶导数：在间断点附近变化剧烈

反三角函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：$f(x) = \arcsin x$（反正弦函数）

想象角度与正弦值的关系：

• 如果 $\sin \theta = x$，那么 $\theta = \arcsin x$
• 问题：当正弦值从 0 增加到 1 时，角度增加多少？
• 导数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 表示：正弦值每增加 1 单位，角度增加多少
• 关键观察：当 $x \to \pm 1$ 时，导数 $\to \infty$（角度变化很快）

类比2：$f(x) = \arctan x$（反正切函数）

想象斜率与角度的关系：

• 如果直线的斜率 = $x$，那么角度 = $\arctan x$
• 导数 $\frac{1}{1+x^2}$ 表示：斜率每增加 1 单位，角度增加多少
• 有趣特性：
  • 当斜率很大时（$x \to \pm \infty$），角度接近 $\pm \frac{\pi}{2}$
  • 导数很小（角度变化慢）
  • 当斜率接近 0 时，导数最大（角度变化快）

类比3：反函数的关系

• 如果 $y = \arcsin x$，则 $x = \sin y$
• 使用隐函数求导：$\frac{dx}{dy} = \cos y$
• 因此：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

数学理解

为什么 $\arcsin x$ 的导数是 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$？

1. 设 $y = \arcsin x$，则 $x = \sin y$
2. 对两边求导：$1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$
3. 因此：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

为什么 $\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$？

1. 设 $y = \arctan x$，则 $x = \tan y$
2. 对两边求导：$1 = \sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx}$
3. 因此：$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1+\tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}$

图像特征

$f(x) = \arcsin x$

观察要点：

• 原函数：从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的单调递增曲线
• 一阶导数：$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（在端点处趋于无穷）
• 二阶导数：在 $x=0$ 处为 0（拐点）

$f(x) = \arccos x$

观察要点：

• 原函数：从 $\pi$ 到 0 的单调递减曲线
• 一阶导数：$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$（负值，因为函数递减）
• 与 $\arcsin x$ 的关系：$\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

$f(x) = \arctan x$

观察要点：

• 原函数：从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的 S 形曲线
• 一阶导数：$\frac{1}{1+x^2}$（钟形曲线，在 $x=0$ 处最大）
• 二阶导数：在 $x=0$ 处为 0（拐点）
• 重要特性：当 $x \to \pm \infty$ 时，函数值趋于 $\pm \frac{\pi}{2}$，但导数趋于 0

双曲函数的导数

数学公式

生活类比

类比1：双曲函数 vs 三角函数

双曲函数与三角函数非常相似，但有重要区别：

类比2：$f(x) = \sinh x$（双曲正弦）

想象悬链线（catenary）：

• 一条链条自然下垂形成的曲线
• 形状由双曲余弦函数 $\cosh x$ 描述
• 导数关系：$\cosh' x = \sinh x$

类比3：$f(x) = \tanh x$（双曲正切）

想象Sigmoid 函数（在机器学习中常用）：

• $\tanh x$ 是 S 形曲线
• 值域：$(-1, 1)$
• 导数 $\text{sech}^2 x$ 始终为正
• 在 $x=0$ 附近，导数最大（变化最快）

数学理解

为什么双曲函数与三角函数如此相似？

这源于欧拉公式的推广：

• 三角函数：$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$，$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$
• 双曲函数：$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$，$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$

关键区别：三角函数有虚数单位 $i$，双曲函数没有。

导数关系：

• $\sinh' x = \cosh x$（类似 $\sin' x = \cos x$）
• $\cosh' x = \sinh x$（类似 $\cos' x = -\sin x$，但这里是正号！）
• $\tanh' x = \text{sech}^2 x$（类似 $\tan' x = \sec^2 x$）

图像特征

$f(x) = \sinh x$

观察要点：

• 原函数：从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 的 S 形曲线
• 一阶导数：$\cosh x$（U 形曲线，始终为正）
• 二阶导数：$\sinh x$（与原函数相同）
• 无界性：当 $x \to \pm \infty$ 时，函数值趋于 $\pm \infty$

$f(x) = \cosh x$

观察要点：

• 原函数：U 形曲线（悬链线），最小值在 $x=0$ 处
• 一阶导数：$\sinh x$（S 形曲线）
• 二阶导数：$\cosh x$（与原函数相同）
• 对称性：关于 $y$ 轴对称

$f(x) = \tanh x$

观察要点：

• 原函数：S 形曲线，值域 $(-1, 1)$
• 一阶导数：$\text{sech}^2 x$（钟形曲线，在 $x=0$ 处最大）
• 二阶导数：在 $x=0$ 处为 0（拐点）
• 饱和特性：当 $x \to \pm \infty$ 时，函数值趋于 $\pm 1$，但导数趋于 0

总结与应用

导数表速查

为了方便查阅，以下是完整的导数表：

1. 常数和幂函数

• $(C)' = 0$
• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. 指数和对数函数

• $(e^x)' = e^x$
• $(a^x)' = a^x \ln a$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$

3. 三角函数

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \sec^2 x$

4. 反三角函数

• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

5. 双曲函数

• $(\sinh x)' = \cosh x$
• $(\cosh x)' = \sinh x$
• $(\tanh x)' = \text{sech}^2 x$

记忆技巧

1. 指数函数：$e^x$ 的导数等于自身（唯一）
2. 三角函数：$\sin \to \cos$，$\cos \to -\sin$（记住负号）
3. 对数函数：$\ln x$ 的导数是 $\frac{1}{x}$（简单！）
4. 反三角函数：都有 $\sqrt{1-x^2}$ 或 $1+x^2$ 的形式
5. 双曲函数：与三角函数类似，但没有负号（除了 $\cosh'$）

实际应用

1. 优化问题：求函数的最大值/最小值（导数为 0 的点）
2. 物理运动：位置 → 速度 → 加速度
3. 经济学：边际成本、边际收益
4. 机器学习：梯度下降、反向传播
5. 工程学：曲线拟合、信号处理

复合函数求导

记住：对于复合函数 $f(g(x))$，使用链式法则：
$$
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

例子：

• $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x$
• $\frac{d}{dx}[e^{3x}] = e^{3x} \cdot 3$

结语

导数表是微积分的基础工具，就像乘法表是算术的基础一样。通过理解每个函数的导数，我们不仅能快速计算，更能深入理解函数的变化特性。

记住：

• 导数描述变化率
• 二阶导数描述变化率的变化率
• 图像帮助我们直观理解数学概念

希望这篇文章帮助你更好地理解和应用导数！

参考文献

1. 百度百科 - 导数表
2. Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals (8th ed.). Cengage Learning.
3. Spivak, M. (2008). Calculus (4th ed.). Publish or Perish.