复合函数求导

目录

1. 引言：什么是复合函数？
2. 复合函数求导的核心：链式法则
3. 链式法则的严格证明
4. 链式法则的直观理解
5. 基础示例：从简单到复杂
6. 进阶示例：多层复合函数
7. 常见错误与注意事项
8. 综合应用：实际问题求解
9. 总结与记忆技巧

引言：什么是复合函数？

生活中的类比

想象你是一个工厂的生产经理，需要计算产品的最终成本：

1. 第一步：原材料经过第一道工序，变成半成品
2. 第二步：半成品经过第二道工序，变成最终产品

如果：

• 第一道工序：$u = g(x)$（原材料 $x$ 变成半成品 $u$）
• 第二道工序：$y = f(u)$（半成品 $u$ 变成最终产品 $y$）

那么整个生产过程就是：$y = f(g(x))$

这就是复合函数：一个函数的输出作为另一个函数的输入。

数学定义

复合函数：如果 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 都是函数，那么函数

$$y = f(g(x))$$

称为 $f$ 和 $g$ 的复合函数，记作 $f \circ g$。

例子：

• $f(x) = x^2$，$g(x) = 2x + 1$
• 复合函数：$f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

为什么要学习复合函数求导？

在实际问题中，我们经常遇到复合函数：

• 物理问题：位置函数 $s(t)$，速度函数 $v(s)$，加速度 $a(v)$
• 经济问题：成本函数 $C(q)$，价格函数 $P(C)$，利润 $L(P)$
• 工程问题：温度函数 $T(x)$，材料性能 $M(T)$，强度 $S(M)$

只有掌握了复合函数求导，才能解决这些实际问题！

复合函数求导的核心：链式法则

链式法则的表述

链式法则（Chain Rule）：

如果 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$ 都是可导函数，那么复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

或者写成：

$$
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

符号说明

• $\frac{dy}{dx}$：$y$ 对 $x$ 的导数（最终结果）
• $\frac{dy}{du}$：$y$ 对 $u$ 的导数（外层函数的导数）
• $\frac{du}{dx}$：$u$ 对 $x$ 的导数（内层函数的导数）

记忆口诀

"外导内，内导外" 或 "先外后内，层层求导",就像剥洋葱从外到内一层层往里剥

链式法则的严格证明

证明思路

我们要证明：如果 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$ 都是可导函数，那么

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

第一步：导数的定义

根据导数的定义：

$$
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
$$

其中 $\Delta y = f(g(x + \Delta x)) - f(g(x))$。

第二步：引入中间变量

设 $\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)$，则：

$$
g(x + \Delta x) = g(x) + \Delta u = u + \Delta u
$$

因此：

$$
\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u)
$$

第三步：关键技巧——分离增量

当 $\Delta x \to 0$ 时，如果 $\Delta u \neq 0$，我们可以写成：

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
$$

这一步很关键：我们通过乘以 $\frac{\Delta u}{\Delta u} = 1$ 来分离增量。

第四步：取极限

当 $\Delta x \to 0$ 时：

• 如果 $\Delta u \to 0$（这是通常情况），那么：

  $$
  \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}
  $$

  由于 $\Delta u \to 0$ 当 $\Delta x \to 0$，我们可以写成：

  $$
  \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}
  $$

  即：

  $$
  \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
  $$

第五步：处理特殊情况

特殊情况：当 $\Delta u = 0$ 时（即 $g'(x) = 0$ 的情况）

如果 $g'(x) = 0$，那么 $\frac{du}{dx} = 0$，所以：

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot 0 = 0
$$

同时，当 $\Delta u = 0$ 时，$\Delta y = f(u) - f(u) = 0$，所以：

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x} = 0
$$

因此，即使 $\Delta u = 0$，公式仍然成立。

证明完成

结论：链式法则

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

在所有情况下都成立。

链式法则的直观理解

类比1：工厂生产线

想象一个三层工厂：

原材料 x → [第一道工序 g] → 半成品 u → [第二道工序 f] → 最终产品 y

变化率分析：

• 第一道工序的变化率：$\frac{du}{dx} = g'(x)$（原材料增加1单位，半成品增加多少）
• 第二道工序的变化率：$\frac{dy}{du} = f'(u)$（半成品增加1单位，最终产品增加多少）

总变化率：

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

含义：原材料增加1单位，最终产品增加 $\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 单位。

类比2：速度的传递

想象你在高速公路上开车：

• 第一层：时间 $t$ → 位置 $s = g(t)$（你的位置随时间变化）
• 第二层：位置 $s$ → 速度 $v = f(s)$（速度随位置变化）

问题：时间变化时，速度如何变化？

答案：

$$
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt}
$$

• $\frac{ds}{dt}$：位置对时间的变化率（速度）
• $\frac{dv}{ds}$：速度对位置的变化率
• $\frac{dv}{dt}$：速度对时间的变化率（加速度）

类比3：分数的约分

链式法则中的 $\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ 可以"约分"：

$$
\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{dy}{\cancel{du}} \cdot \frac{\cancel{du}}{dx} = \frac{dy}{dx}
$$

注意：这只是记忆技巧，不是严格的数学操作！

基础示例：从简单到复杂

示例1：最简单的复合函数

问题：求 $y = (2x + 1)^2$ 的导数。

解法1：展开后求导

$$
y = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
$$

$$
y' = 8x + 4 = 4(2x + 1)
$$

解法2：使用链式法则

设 $u = 2x + 1$，则 $y = u^2$。

步骤1：求 $\frac{du}{dx}$

$$
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x + 1) = 2
$$

步骤2：求 $\frac{dy}{du}$

$$
\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^2) = 2u
$$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 2 = 4u = 4(2x + 1)
$$

验证：两种方法结果一致！

示例2：指数函数复合

问题：求 $y = e^{3x}$ 的导数。

解法：

设 $u = 3x$，则 $y = e^u$。

步骤1：$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x) = 3$

步骤2：$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(e^u) = e^u$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x}
$$

一般形式：如果 $y = e^{ax}$，则 $y' = ae^{ax}$。

示例3：对数函数复合

问题：求 $y = \ln(2x + 5)$ 的导数。

解法：

设 $u = 2x + 5$，则 $y = \ln(u)$。

步骤1：$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x + 5) = 2$

步骤2：$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\ln(u)) = \frac{1}{u}$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 5}
$$

一般形式：如果 $y = \ln(ax + b)$，则 $y' = \frac{a}{ax + b}$。

示例4：三角函数复合

问题：求 $y = \sin(3x^2)$ 的导数。

解法：

设 $u = 3x^2$，则 $y = \sin(u)$。

步骤1：$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2) = 6x$

步骤2：$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sin(u)) = \cos(u)$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(u) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2)
$$

示例5：幂函数复合

问题：求 $y = (x^2 + 1)^5$ 的导数。

解法：

设 $u = x^2 + 1$，则 $y = u^5$。

步骤1：$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

步骤2：$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(u^5) = 5u^4$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 5u^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4
$$

一般形式：如果 $y = [g(x)]^n$，则 $y' = n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$。

进阶示例：多层复合函数

三层复合函数

问题：求 $y = \sin(e^{x^2})$ 的导数。

分析：这是一个三层复合函数

• 最内层：$u = x^2$
• 中间层：$v = e^u$
• 最外层：$y = \sin(v)$

解法1：逐步应用链式法则

第一步：从最外层开始

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}
$$

第二步：计算 $\frac{dy}{dv}$

$$
\frac{dy}{dv} = \frac{d}{dv}(\sin(v)) = \cos(v) = \cos(e^{x^2})
$$

第三步：计算 $\frac{dv}{dx}$（这又是一个复合函数）

$$
\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

其中：

• $\frac{dv}{du} = \frac{d}{du}(e^u) = e^u = e^{x^2}$
• $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

所以：

$$
\frac{dv}{dx} = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}
$$

第四步：组合结果

$$
\frac{dy}{dx} = \cos(e^{x^2}) \cdot 2xe^{x^2} = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})
$$

解法2：直接写出完整公式

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}\cos(e^{x^2})
$$

四层复合函数

问题：求 $y = \ln(\sin(e^{x^2 + 1}))$ 的导数。

分析：四层复合

• 第1层：$u = x^2 + 1$
• 第2层：$v = e^u$
• 第3层：$w = \sin(v)$
• 第4层：$y = \ln(w)$

解法：

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dw} \cdot \frac{dw}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

逐步计算：

• $\frac{dy}{dw} = \frac{1}{w} = \frac{1}{\sin(e^{x^2 + 1})}$
• $\frac{dw}{dv} = \cos(v) = \cos(e^{x^2 + 1})$
• $\frac{dv}{du} = e^u = e^{x^2 + 1}$
• $\frac{du}{dx} = 2x$

最终结果：

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin(e^{x^2 + 1})} \cdot \cos(e^{x^2 + 1}) \cdot e^{x^2 + 1} \cdot 2x
$$

$$
= \frac{2xe^{x^2 + 1}\cos(e^{x^2 + 1})}{\sin(e^{x^2 + 1})} = 2xe^{x^2 + 1}\cot(e^{x^2 + 1})
$$

多层复合函数的通用方法

步骤：

1. 识别层次：从外到内，逐层识别
2. 逐层求导：从最外层开始，逐层求导
3. 链式相乘：将所有导数相乘

公式：如果 $y = f_n(f_{n-1}(\cdots f_2(f_1(x))\cdots))$，则：

$$
\frac{dy}{dx} = f_n'(f_{n-1}(\cdots)) \cdot f_{n-1}'(f_{n-2}(\cdots)) \cdot \cdots \cdot f_2'(f_1(x)) \cdot f_1'(x)
$$

常见错误与注意事项

错误1：忘记乘以内层函数的导数

错误示例：

$$
y = (2x + 1)^3
$$

错误计算：$y' = 3(2x + 1)^2$ ❌

正确计算：

$$
y' = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2$$ ✅

原因：忘记了内层函数 $2x + 1$ 的导数 $2$。

错误2：混淆内外层函数

错误示例：
$$y = \sin(x^2)
$$

错误计算：$y' = \cos(x^2) \cdot x^2$ ❌

正确计算：

$$
y' = \cos(x^2) \cdot 2x$$ ✅

原因：应该对 $x^2$ 求导得到 $2x$，而不是 $x^2$。

错误3：多层复合时遗漏中间层

错误示例：
$$y = \sin(e^{x^2})
$$

错误计算：$y' = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2}$ ❌

正确计算：

$$
y' = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x$$ ✅

原因：遗漏了最内层 $x^2$ 的导数 $2x$。

注意事项

1. 始终识别复合结构：看到函数时，先判断是否是复合函数
2. 从外到内逐层求导：不要跳步，一步一步来
3. 不要忘记乘以内层导数：这是最常见的错误
4. 检查结果是否合理：求导后检查单位、符号等

综合应用：实际问题求解

应用1：物理问题——简谐运动

问题：一个质点的位置随时间变化为 $s(t) = A\sin(\omega t + \phi)$，其中 $A$、$\omega$、$\phi$ 是常数。求速度和加速度。

解法：

速度（位置对时间的导数）：
$$v(t) = \frac{ds}{dt}
$$

设 $u = \omega t + \phi$，则 $s = A\sin(u)$。

$$
\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt} = A\cos(u) \cdot \omega = A\omega\cos(\omega t + \phi)
$$

加速度（速度对时间的导数）：

$$
a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[A\omega\cos(\omega t + \phi)]
$$

设 $u = \omega t + \phi$，则 $v = A\omega\cos(u)$。

$$
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dt} = -A\omega\sin(u) \cdot \omega = -A\omega^2\sin(\omega t + \phi)
$$

结果：

• 速度：$v(t) = A\omega\cos(\omega t + \phi)$
• 加速度：$a(t) = -A\omega^2\sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 s(t)$

应用2：经济问题——复合成本函数

问题：某公司的成本函数为 $C(q) = 1000 + 50q^2$，其中 $q$ 是产量。如果产量随时间变化为 $q(t) = 10t + t^2$，求成本对时间的变化率。

解法：

我们需要求 $\frac{dC}{dt}$。

设 $q = 10t + t^2$，则 $C = 1000 + 50q^2$。

步骤1：$\frac{dq}{dt} = \frac{d}{dt}(10t + t^2) = 10 + 2t$

步骤2：$\frac{dC}{dq} = \frac{d}{dq}(1000 + 50q^2) = 100q$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dC}{dt} = \frac{dC}{dq} \cdot \frac{dq}{dt} = 100q \cdot (10 + 2t) = 100(10t + t^2)(10 + 2t)
$$

$$
= 100(100t + 20t^2 + 10t^2 + 2t^3) = 100(100t + 30t^2 + 2t^3)
$$

$$
= 10000t + 3000t^2 + 200t^3
$$

应用3：工程问题——温度分布

问题：一根金属棒的温度分布为 $T(x) = 100e^{-x^2}$，其中 $x$ 是距离一端的距离。如果测量点位置随时间变化为 $x(t) = 2t$，求该点的温度变化率。

解法：

我们需要求 $\frac{dT}{dt}$。

设 $x = 2t$，则 $T = 100e^{-x^2}$。

步骤1：$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t) = 2$

步骤2：$\frac{dT}{dx} = \frac{d}{dx}(100e^{-x^2})$

这里需要再次应用链式法则：
设 $u = -x^2$，则 $T = 100e^u$。

$$
\frac{dT}{dx} = \frac{dT}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 100e^u \cdot (-2x) = -200xe^{-x^2}
$$

步骤3：应用链式法则

$$
\frac{dT}{dt} = \frac{dT}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = -200xe^{-x^2} \cdot 2 = -400xe^{-x^2}
$$

代入 $x = 2t$：

$$
\frac{dT}{dt} = -400(2t)e^{-(2t)^2} = -800te^{-4t^2}
$$

总结与记忆技巧

链式法则的核心公式

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$

或

$$
(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

求解步骤

1. 识别复合结构：找出内层函数 $u = g(x)$ 和外层函数 $y = f(u)$
2. 求内层导数：$\frac{du}{dx} = g'(x)$
3. 求外层导数：$\frac{dy}{du} = f'(u)$（注意：这里 $u$ 是变量）
4. 代入并相乘：$\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
5. 简化结果：将 $u$ 用 $g(x)$ 替换，并化简

记忆口诀

1. "外导内，内导外"：外层函数的导数（对内层变量）乘以内层函数的导数（对自变量）
2. "先外后内，层层求导"：从外到内，逐层求导，然后相乘
3. "链式相乘"：多层复合时，所有导数链式相乘

常见复合函数求导公式

练习建议

1. 从简单开始：先练习两层复合函数
2. 逐步增加复杂度：再练习三层、四层复合函数
3. 多做实际应用：结合物理、经济等问题练习
4. 注意常见错误：避免忘记乘以内层导数

最终提醒

链式法则是微积分中最重要的法则之一，掌握它对于：

• ✅ 求解复杂函数的导数
• ✅ 理解函数的复合关系
• ✅ 解决实际应用问题
• ✅ 学习后续的隐函数求导、参数方程求导等

记住：遇到复合函数，就用链式法则！从外到内，逐层求导，链式相乘！

附录：更多练习

练习1

求 $y = \sqrt{x^2 + 1}$ 的导数。

答案：$y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

练习2

求 $y = \cos(3x^2 + 2x)$ 的导数。

答案：$y' = -(6x + 2)\sin(3x^2 + 2x)$

练习3

求 $y = e^{\sin(x)}$ 的导数。

答案：$y' = e^{\sin(x)}\cos(x)$

练习4

求 $y = \ln(x^3 + 2x^2 + 1)$ 的导数。

答案：$y' = \frac{3x^2 + 4x}{x^3 + 2x^2 + 1}$

练习5

求 $y = \sin(\cos(x^2))$ 的导数。

答案：$y' = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))$

祝学习愉快！掌握链式法则，微积分之路将更加顺畅！ 🎓